ファイルをダウンロードさせるジェネリック ハンドラーを作成します。
ASP.NETでファイルをダウンロードさせる場合にはContent-TypeとContent-Dispositionを設定する必要があります。詳しくはこちらの記事を参照してください。Content-Dispositionのfilenameパラメーターに日本語ファイル名を指定する場合は、URLエンコードしたファイル名を指定する必要があります。

コード例

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Web;

namespace SimpleGenericHandler
{
  /// <summary>
  /// SimpleHandler の概要の説明
  /// </summary>
  public class SimpleHandler : IHttpHandler
  {

    public void ProcessRequest(HttpContext context)
    {
      string figID="日本語ファイル名";
      string filename = HttpUtility.UrlEncode(figID);

      context.Response.ContentType = "application/octet-stream";
      context.Response.AppendHeader(
        "Content-Disposition", string.Format("attachment; filename={0:s}.dat", filename));

      string data="abcd";
      byte[] databytes = System.Text.Encoding.GetEncoding("shift-JIS").GetBytes(data);

      context.Response.OutputStream.Write(databytes, 0, databytes.Length);
    }

    public bool IsReusable
    {
      get
      {
        return false;
      }
    }
  }
}

解説

下記のコードでダウンロードするファイルにデフォルトで設定する日本語のファイル名をURLエンコードします。

 string figID="日本語ファイル名";
 string filename = HttpUtility.UrlEncode(figID);

下記のコードにて、レスポンスのContentTypeとContent-Dispositionパラメータを設定します。Content-Dispositionレスポンスヘッダーの attachment; filename= の値にダウンロードするファイルのデフォルトのファイル名を設定します。

 context.Response.ContentType = "application/octet-stream";
 context.Response.AppendHeader(
   "Content-Disposition", string.Format("attachment; filename={0:s}.dat", filename));

下記コードが、ダウンロードさせるデータ送信するコードです。今回の例では、"abcd"の文字列をShift-JISでエンコードしたものをダウンロードされるファイルとして送信します。

 string data="abcd";
 byte[] databytes = System.Text.Encoding.GetEncoding("shift-JIS").GetBytes(data);
 context.Response.OutputStream.Write(databytes, 0, databytes.Length);